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AMC 12超全知识点汇总【2024更新】

AMC 12(American Mathematics Competition)由12年级及12年级以下学生参加,参加AMC12考试的当天年龄需小于19.5岁。达到分数线的考生会获得荣誉证书,并受邀参加美国数学邀请赛(AIME),每年分数线会根据整体情况有所调整。

那么,AMC的考点有哪些?能从哪些方面下手备考呢?快跟小悟空一起看看吧!

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一、AMC 12考点有哪些?

AMC10与AMC12的差异

AMC12的大部分考点都是与AMC10一致的,整份试卷中也会有10题左右是完全相同的。差异在于,代数模块多了大量的知识点,这些知识点基本是高中课内内容;此外在几何、数论、组合模块各多了少量的知识点,这些知识点大多比较复杂,一般出现在后10题中,掌握这些知识点是冲击高分的关键。

AMC12涵盖了AMC10的所有知识点之外还包括三角学、高级代数和高级几何学,但不包括微积分。

AMC12考点

1、代数

本部分主要考察:各种因式分解的方法及其广泛的应用、指数运算的基本法则及解方程、高中阶段代数知识、不等式理论、多项式理论和二项式定理。

2、平面几何

本部分主要考察:等腰,等边和直角三角形的计算、特殊角的基本三角函数计算、相似图形的判别和周长与面积的计算、初中几何的相关结论和证明、内接圆、外切图形的结论。

3、数论

本部分主要考察:整除理论、同余理论、费尔马小定理和算术基本定理等、数论证明、了解Diophantineequations的类型以及与整除理论的关系、掌握线性Diophantineequations的原理,解法及应用。

4、排列组合

本部分主要考察:计数原理、掌握排列组合原理和计算、Exclusion–inclusionprinciple、pigeon-holeprinciple解决实际问题、组合问题的实际应用、统计初步:平均数,众数,中位数及加权平均数的计算。

5、三角函数

本部分主要考察:三角基础知识和公式、三角函数的计算和化简、三角函数的综合应用、掌握三角函数和三角方程的学术活动题解法。

6、数列和级数

本部分主要考察:等差等比数列解法、复杂的等差数列与等比数列的应用、学习解特殊数列和级数的相关技巧、三角、代数和组合相结合的学术活动题解法。

7、复数和图论

本部分主要考察:复习复数知识和词汇,学习初步图论、计数和组合的联系、重点联系上述与其他知识的综合题的解法。

二、AMC12 考试时间分配表

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三、答题公式与口诀(部分)

开头我们就说了,学会了知识点还不够,还要学会灵活运用!哪里能体现灵活运用,那就是充分了解【必考题型】,将知识点与题进行的完美结合。这时候与大家分享几个关于题型的口诀:

①在应用题、几何题、数列题、函数题中,如果题目中的变量都是整数时,很有可能是数论题。

解决方案:需要用到数论相关知识,例如分析因子和倍数关系或者列出整数方程再求解。

②概率类题目要搞清楚是否为几何型概率,是否是无穷状态类问题,是否是equally likely outcome型概率,然后再选择对应的方法。

③两人游戏类问题,简单情况可以直接枚举进行讨论;复杂情况可以先用配对和镜像的方法进行尝试,若不行再从简单的初始条件出发,寻找winning position和losing position,并找出一般规律。

④利用对称性化简问题,组合计数题目可以根据对称性减少需要计算的情况;具有对称性的方程组可以尝试相加或者相减,再进行因式分解;光线传播类问题需要对图形作对称让光线沿直线传播。

举例来说:例如给正方体染成2黑4白和2白4黑的情况是一样的。例如光线传播类问题需要对图形作对称让光线沿直线传播。

⑤熟悉函数图像的画法:基本函数(线性、二次、指数、多项式、有理函数)、特殊函数(绝对值、取整函数)、复合函数图像以及图像的平移、伸缩和对称变换。

⑥后面几道题不要看都不看直接跳过,说不定某道题你恰好就会!

AMC12部分需要记住的公式:

代数:各函数的图像特征(二次 三角 指对数 绝对值 取整函数 复合函数 反函数 平移、伸缩、对称等图像变换),三角恒等变换公式,复数相关公式,对数运算公式,递推数列求解通项方法,均值不等式,高次方程韦达定理,坐标系中距离公式(点-点,点-直线,直线-直线),直线夹角公式,鞋带定理;

几何:常见面积和体积公式,勾股定理,角平分线定理,正余弦定理,圆幂计算公式,三角形center的相关性质,圆内接四边形的相关性质,托勒密定理,Stewart定理;

数论:因式分解公式,因数相关公式(个数、和、乘积),进制转化公式,同余计算法则与同余方程解法,中国剩余定理;

组合:插板法公式,二项式定理,容斥原理公式;

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、答题注意事项(Tips)

做题过程中的注意事项

AMC中有些题目文字较多,基本上数学题中不会有没用的信息,因此一定要仔细读题看图,如果线下考试的话在上卷上标记出重要信息,如果线上考试则在草稿纸上写下题目的重点信息;

线上考试的同学,几何题无论有没有给图,都在草稿纸上画一遍图(建议多准备几支不同颜色的笔);

草稿也不要写得太乱,要让自己检查的时候很快能找到每一步的计算结果;

双语试卷读题时,先看自己熟悉的语言,如果觉得题目有歧义,再看另一种语言来确认;如果有配图的,可以先看图再看文字;

解题前,先想一想:

几何题可以想想能不能建系做?如果建系的话,计算量是否合适?最后决定用什么方法;

三角函数化简问题,可以考虑能不能用复数表示后再化简;坐标系中涉及点旋转的问题,可以考虑用复数表示;

递推数列问题,先算几项找找规律,看看是不是周期数列;再思考能不能用累加累乘或者特征方程求解通项;如果不可以求通项,可以考虑相邻两个式子相减,消常数后因式分解或者构造新数列;如果递推关系明显与整数有关,需要从数论的角度来考虑;

在应用题、几何题、数列题、函数题中,如果题目中的变量都是整数时,很有可能是数论题目,需要用到数论相关知识,例如分析因数和倍数关系或者列出整数方程再求解。

组合题要分清楚题目类型,是计数问题,概率问题,2人游戏问题,组合极值问题,它们的解题方法是有差异的;

概率类题目要搞清楚题目类型,等可能性结果的概率,非等可能性结果的概率,条件概率,几何型概率,无穷时间状态类问题,然后再选择对应的方法。

组合计数题中,“至少存在(at least)”类问题和“都不满足”类问题,可以考虑算反面(complementary counting)和容斥原理(PIE);间隔与相邻类问题,分配与选择问题,可以考虑插板法;经过分类讨论, 能把情况n变为n-1或n-2或者更小的情况,可以考虑递推方法;

观察题目中是否有对称性,从而化简问题:组合计数题目可以根据对称性减少需要计算的情况(例如给正方体染成2黑4白和2白4黑的情况是一样的);具有对称性的方程组可以尝试相加或者相减再进行因式分解;光线传播类问题需要对图形作对称让光线沿直线传播。

选择题答题技巧

➤ 设数法:部分题目可以自行假设一些便于解题的条件

① 方程个数少于变量的时候,可以假设其中某些变量为特定值。(不适用于整数方程);

② 递推数列的前几项是比较大或者复杂的数时,可以自己假设一些简单值或者直接假设变量进行递推,可能会有周期性或者明显的规律;

③ 几何题中给出的信息不足以确定一个图形时,可以自己假设一些额外的角度或者边长条件;

➤ 度量法:对于部分几何题,如果题目条件能够唯一确定图形时,可以作出标准图;当题目条件不能唯一确定图形时,可以画出某种特殊情况下的图形。而后可以通过度量边长或者角度直接得到答案(但是近年来出题人会有意规避这种可能,所以能用到的机会不大)

➤ 找规律:递推数列、递推函数、新定义的数论函数、组合递推问题、二人游戏问题,都可以先从最简单的初始情况开始研究,争取发现规律。

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总结

AMC12考试涵盖了代数、几何、数论、排列组合等多个数学领域,需要考生熟练掌握各知识点。同时,答题时需注意时间分配,确保每道题都有足够的时间去思考和解答。此外,答题技巧也非常重要,如掌握常见的解题口诀和公式,能够提高解题效率。最后,要特别注意做题过程中的细节问题,如仔细读题、检查答案等。只有知识点和技巧相结合,才能取得更好的成绩。

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